Будучы пісьменнік нарадзіўся 22 кастрычніка 1918 года ў вёсцы Даўгінава Карэліцкага раёна ў сялянскай сям’і. У 1936-1938 гадах вучыўся ў музычным інстытуце імя Станіслава Манюшкі ў Навагрудку, а ў 1938–1939 гадах - у Варшаўскай кансерваторыі. Аднак пачатак Другой сусветнай вайны перапыніў яго навучанне.

У 1940 годзе Алесь Бажко быў прызваны ў Чырвоную Армію. Пасля ранення пад Ельняй у 1942 годзе працаваў на будаўніцтве абарончых збудаванняў, а пазней удзельнічаў у стварэнні першых фарміраванняў Войска Польскага на тэрыторыі СССР. Пасля вайны пачаў журналісцкую дзейнасць, працаваў у рэдакцыях абласных і рэспубліканскіх газет.

Першыя нарысы і нататкі пісьменніка з’явіліся ў друку ў 1945 годзе, а ў 1947 годзе былі апублікаваны яго першыя вершы. Алесь Бажко стаў аўтарам аповесцей «Перад вераснем», «Позняе ворыва», «Лясныя крушні», «Жывыя прывіды», паэм «Карвіга пакідае хутар», «Татры», а таксама зборнікаў вершаў «Блакітныя вербы», «Суладдзе», «Каласы і скалы». Ён таксама перакладаў творы з польскай і славацкай моў.

Алесь Бажко прысвяціў значную частку жыцця літаратурнай і культурнай дзейнасці. Працаваў у выдавецтве «Беларусь», газеце «Літаратура і мастацтва», а ў 1973–1977 гадах узначальваў Дзяржаўны літаратурны музей Янкі Купалы. У 1977 годзе яму было прысвоена ганаровае званне заслужанага работніка культуры БССР.

Алесь Бажко памёр 17 красавіка 2013 года ў Мінску. Яго творы сталі часткай літаратурнай спадчыны Беларусі XX стагоддзя.