Анатолий Богатырёв родился  в Витебске. В 1937 году окончил Белорусскую государственную консерваторию имени А. В. Луначарского по классу композиции профессора В. А. Золотарёва.

А. В. Богатырёв внёс значительный вклад в развитие белорусской академической музыки и музыкального образования. Он был одним из создателей белорусской национальной оперы. Среди известных произведений Анатолия Богатырёва - опера «В пущах Полесья», созданная по повести «Дрыгва» Якуба Коласа, а также опера «Надежда Дурова» (1946), поставленная Ансамблем советской оперы Всероссийского театрального общества в 1947 году. С 1948 года Анатолий Богатырёв преподавал в Белорусской государственной консерватории. В 1948–1962 годах занимал должность директора, а затем ректора консерватории. В последующие годы преподавал композицию, инструментовку и чтение партитур, руководил кафедрой композиции. Многие годы он являлся одним из ведущих педагогов, участвовавших в развитии белорусского музыкального образования и подготовке новых поколений композиторов.

В 1938–1949 годах Богатырёв возглавлял правление Союза композиторов БССР. Избирался депутатом Верховного Совета БССР в 1938–1959 годах.

Анатолий Богатырёв - заслуженный артист БССР (1940), заслуженный деятель искусств БССР (1944), народный артист БССР (1968), лауреат Государственной премии СССР (1941) и Государственной премии БССР (1969), профессор (1960). В 1995 году стал почётным членом Международной славянской академии наук, образования, искусств и культуры.