Александр Аксёнов родился 9 октября 1924 года в деревне Кунторовка Гомельского уезда. В 1941 году окончил Гомельское педагогическое училище, получив профессию учителя начальных классов. В годы Великой Отечественной войны был призван в Красную армию, участвовал в Сталинградской битве и других боевых действиях. После тяжёлого ранения в 1943 году был комиссован.

После войны Александр Аксёнов занимал руководящие должности в комсомольских и партийных органах Беларуси. Работал первым секретарём Гродненского областного комитета ЛКСМБ, первым секретарём ЦК ЛКСМБ, секретарём ЦК ВЛКСМ, министром внутренних дел БССР и первым секретарём Витебского обкома Компартии Беларуси.

В 1971-1978 годах занимал пост второго секретаря ЦК Компартии Беларуси, а в 1978-1983 годах возглавлял Совет Министров БССР. В 1983–1986 годах был чрезвычайным и полномочным послом СССР в Польской Народной Республике.

В 1985-1989 годах Александр Аксёнов руководил Государственным комитетом СССР по телевидению и радиовещанию. В этот период начались изменения в работе советского телевидения, а в 1986 году возобновились телевизионные игры КВН.

За государственную и общественную деятельность был удостоен многочисленных наград, в том числе четырёх орденов Ленина, ордена Октябрьской Революции, орденов Трудового Красного Знамени и боевых наград.

Александр Никифорович Аксёнов скончался 8 сентября 2009 года в Минске. Похоронен на Восточном кладбище столицы. Его имя увековечено на памятнике известным уроженцам Ветковского района в городе Ветке Гомельской области.