Астапович родился в Минске, вырос в Гродно. После окончания Гродненской мужской гимназии в 1914 году поступил в Санкт-Петербургский политехнический институт. В 1915-1916 годах обучался на графическом отделении Рисовальной школы Императорского общества поощрения художеств, где был учеником Ивана Билибина.

В 1920-1922 годах продолжил обучение в Рисовальной школе в Харькове. Позже преподавал черчение, рисование и математику в Новосёлках под Минском и в Минске. Состоял во Всебелорусском объединении художников.

Аркадий Астапович внёс значительный вклад в развитие белорусского графического пейзажа. Он создавал пейзажи, портреты, композиции, книжные и журнальные иллюстрации, а также живописные произведения. Особое место в его творчестве занимали лирические пейзажи, отличавшиеся выразительностью и поэтичностью.

Любимой техникой художника была чёрная акварель в сочетании со штриховкой чёрной тушью. Также он работал в технике линогравюры.

Произведения Астаповича экспонировались на Всебелорусских художественных выставках и выставке «Изобразительное искусство Белорусской ССР» в Москве в 1940 году. Более 200 его произведений хранятся в Национальном художественном музее Республики Беларусь.

Аркадий Астапович был участником Великой Отечественной войны и погиб 21 сентября 1941 года в бою под Орлом. Его сестра Зинаида Астапович также была художницей.

Творчество Аркадия Астаповича занимает важное место в истории белорусской графики первой половины XX века.