До призыва в армию он окончил зоотехникум и работал заведующим животноводческой фермой в совхозе. В 1936 году Иван Ковшаров был призван в Красную Армию, а в 1937 году окончил Оренбургскую военную авиационную школу лётчиков и лётнабов. Он участвовал в боях на Халхин-Голе и советско-финской войне, а с июня 1941 года сражался на фронтах Великой Отечественной войны.

К декабрю 1941 года лейтенант Ковшаров, занимавший должность штурмана эскадрильи 225-го ближнебомбардировочного авиаполка, совершил 99 боевых вылетов. Он участвовал в бомбардировках скоплений боевой техники и живой силы противника, нанося ему значительные потери.

17 декабря 1941 года за мужество, героизм и образцовое выполнение боевых заданий Ивану Ковшарову было присвоено звание Героя Советского Союза. Он был награждён орденом Ленина и медалью «Золотая Звезда».

В 1944 году Ковшаров окончил Военно-воздушную академию. После войны продолжил службу в Советской Армии, а в 1961 году вышел в запас в звании подполковника. Последние годы жизни он провёл в Киеве, где умер 21 февраля 1998 года.

За боевые заслуги Иван Акимович Ковшаров также был награждён орденом Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I степени, двумя орденами Красной Звезды и медалями. Его боевой путь стал примером мужества, профессионализма и преданности воинскому долгу.